Определение (лекции, опр. 3.2.5–3.2.6). $\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)=A$ (предел слева), если $\forall\varepsilon\gt 0\ \exists\delta\gt 0:\ x_0-\delta\lt x\lt x_0\Rightarrow|f(x)-A|\lt \varepsilon$. Справа — то же для $x_0\lt x\lt x_0+\delta$. Обозначения: $f(x_0-0)$ и $f(x_0+0)$.

Теорема 3.2.3. Предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ существует и конечен $\iff$ оба односторонних предела существуют, конечны и равны. Поэтому если слева и справа получилось разное — общего предела нет, так и пиши в ответе.

Когда обязательно считать отдельно слева и справа

есть модуль: $|x|$, $|x-a|$, $\sqrt{x^2}=|x|$, $\sqrt{\sin^2x}=|\sin x|$;
показатель уходит в $\pm\infty$: $e^{1/x}$, $2^{\frac1{x-a}}$;
$\operatorname{arctg}\frac1x$, $\operatorname{arcctg}\frac1x$;
$\dfrac{c}{0}$ с $c\ne0$ — ответ $\pm\infty$, знак зависит от стороны;
$\operatorname{tg}x$ около $\frac\pi2$, $\operatorname{ctg}x$ около $0$, целая часть $[x]$ около целых;
корни чётной степени и логарифмы, определённые только с одной стороны ($\sqrt x$ при $x\to0$ — только $x\to+0$).

Приём

Замени $x=a-t$ (слева) или $x=a+t$ (справа), где $t\to+0$. Тогда знак всех «опасных» выражений известен: $x-a=\pm t$, $|x-a|=t$.

Выражение	$x\to0-0$	$x\to0+0$
$\dfrac1x$	$-\infty$	$+\infty$
$e^{1/x}$, $a^{1/x}$ ($a\gt 1$)	$0$	$+\infty$
$\operatorname{arctg}\dfrac1x$	$-\dfrac\pi2$	$\dfrac\pi2$
$\dfrac{\|x\|}{x}=\operatorname{sign}x$	$-1$	$1$

Пример. $\lim\limits_{x\to0\pm0}\dfrac{1}{1+e^{1/x}}$: слева $e^{1/x}\to0$ ⇒ $1$; справа $e^{1/x}\to+\infty$ ⇒ $0$. Общего предела нет.

Пример 2. $\lim\limits_{x\to0\pm0}\dfrac{\sqrt{1-\cos x}}{x}$: $\sqrt{1-\cos x}=\sqrt2\left|\sin\frac x2\right|$ ⇒ слева $-\dfrac{1}{\sqrt2}$, справа $\dfrac1{\sqrt2}$.

Точки разрыва (лекции, §4.2)

$f$ непрерывна в $x_0$ $\iff$ $f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0)$. Иначе $x_0$ — точка разрыва:

устранимый — односторонние пределы конечны и равны, но $f(x_0)$ не определено или не равно им (пример: $\frac{\sin x}{x}$ в нуле);
I рода (скачок) — оба конечны, но различны; скачок $=f(x_0+0)-f(x_0-0)$ (пример: $\operatorname{sign}x$, скачок $2$);
II рода — хотя бы один односторонний предел бесконечен или не существует (пример: $e^{1/x}$, $\sin\frac1x$ в нуле).

Пределы при $x\to\pm\infty$ — тоже односторонние «на бесконечности» (замечание из лекций). Отсюда разные ответы в задачах вида 4.18 и 575(2).